ALJABAR BOOLEAN

Pendahuluan 

Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR, dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang di bentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Penamaan aljabar boolean sendiri berasal dari nama sesorang matematikawan asal Inggrs, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian  dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.

Hubungan-Hubungan Boolean

Hukum-hukum komunitatif, Asosiatif, dan Distributif

Pada gerbang OR 2-masukan tertentu, kita dapat mengubah urutan sinyal-sinyal masukan tanpa mengubah keluarannya. Persamaan booleannya :

            A+B=B+A

Begitu pula kita dapat mengubah urutan sinyal-sinyak masukan gerbang AND 2-masukan tanpa mempengaruhi sinyal keluarannya. Persamaan booleannya :

            AB=BA

Kedua persamaan diatas disebut Hukum Komulatif.

Hukum Asosiatif untuk operasi OR adalah 

            A+(B+C)=(A+B)+C

Hukum Asosiatif untuk operasi AND diungkapkan oleh :

            A(BC)=(AB)C

Hukum Distributif menyatakan bahwa :

            A(B+C)=AB+AC

---

OPERASI OR

Keempat persamaan Boole yang berikut berkaitan dengan operasi OR. Persamaan pertama :

            A+0=A

Persamaan ini menyatakan bahwa sebuah variabel yang dikenaksn operasi OR dengan 0 menghasilkan kembali variabel semula.

Hubungan Boole yang lain adalah :

            A+A=A

Jadi, operasi OR dari sebuah variabel dengan dirinya sendiri menghasilkan variabel semula. 

            A+1=1

Jika suatu masukan gerbang OR sama dengan 1, maka keluarannya 1 apapun nilai masukan lain. 

            A+A’= 1

Suatu variabel yang di OR kan komplemennya menghasilkan keluaran 1.

OPERASI AND

Hubungan AND yang pertama adalah :

            A.1=A

Hasil operasi AND dari sebuah variabel dengan 1 adalah variabel semula.

Hubungan yang lain adalah :

            A.A=A

Sebuah variabel yang di AND-kan dengan dirinya sendiri tidak akan mengubah variabel tersebut.

            A.0=0

Jika salah satu masukan dari gerbang AND bernilai 0, keluarannya akan menjadi 0 berapapun nilai masukan yang lain.

Aturan operasi and yang terakhir adalah :

            A.A’=0

Operasi AND pada suatu variabel dengan komplemennya menghasilkan keluaran 0.

Dari bentuk jumlah dari perkalian suatu pernyataan boolean disebut Miniterm atau pada rangkaian logika AND-OR untuk nilai keluarannya = 1.

Contoh Soal :

Sederhanakanlah

1.      Q= A . B + A . B’

2.      Q= A’ . B + A . B’ + A . B

Penyelesaian :

1.        Q = A . B + A . B’

      = A(B + B’)

      = A . 1

      = A

2.      Q  = A’ . B + A . B’ + A . B

                   = A’.B+A(B’+B)

                   = A’. B + A . 1

                = A’. B + A

                        Atau

            Q= B (A’ + A) + A . B’

               = B . 1 + A . B’

               = B + A . B’

1.   Aljabar Boolean perkalian dari jumlah

Yaitu aljabar yang dimulai dari penjumlahan kemudian di kalikan. Variabel masukan dibalik dan kemudian di OR kan sehingga pernyataan boolean perkalian dari jumlah disebut maksterm.

Nilai keluaran = 0

Teori De Morgan

Teori pertama : A’ . B’ = A’ + B’

Teori kedua : A + B = A’ . B’

Dapat dibuktikan Teori De Morgan :

A . B = A’ + B’

Misal : A=0

            B= 0

0’ . 0’ = 1

0’ + 0’ = 1

A = 0

B = 1

0’ . 1’ = 1

0’ + 1’ + 1

Untuk mentransformasikan situasi n dasar menjadi OR atau situasi OR ke n. Diperlukan 4 langkah yang berdasarkan Teori De Morgan :

1. Ubah semua OR ke n dan semua n ke OR

      2. Lengkapi setiap variabel indivvidual tambahkan tanda (^-) di atas pada setiap variabel.
3. Lengkapi semua fungsi tambahkan tanda (^-) diatasnya.

      4. Hilangkan semua kelompok dari tanda (^-) diatasnya yang berjumlah genap.

Contoh soal : 

Y =   (A + B’ + C’) . A’ + B + C’)

Y =   (A + B’ + C’) . A’ + B + C’)
Y =   (A + B’+C’) . A’ + B + C’) 
Y =   (A + B’+C’) .  A’ + B + C’)
Y =   (A’ + B + C) .  A + B’ + C)